TEORÍA DE COLAS (LÍNEAS DE ESPERA)
TEORÍA DE COLAS | Explicación | Modelo M/M/1 | Formulario | Notación de Kendall | Funciones de Little
Teoría de Colas: Explicación, Modelo M/M/1, Notación de Kendall, Funciones de Little
La teoría de colas es una rama de las matemáticas que estudia la formación de colas, su comportamiento y sus características. Se utiliza en diversas disciplinas como la ingeniería de tráfico, las telecomunicaciones, la logística y la gestión de operaciones para predecir y optimizar la gestión de la espera.
Modelo M/M/1
Uno de los modelos más simples y comúnmente utilizados en la teoría de colas es el modelo M/M/1. Este modelo asume llegadas de Poisson (denotado por la primera ‘M’), tiempos de servicio exponenciales (la segunda ‘M’) y un solo servidor (el ‘1’). El modelo M/M/1 es útil para analizar sistemas con alta variabilidad en los tiempos de llegada y servicio.
Notación de Kendall
La notación de Kendall es una forma estándar de describir las características de un modelo de cola. Se representa como A/B/c/K/N/D donde:
- A es la distribución de llegadas
- B es la distribución del tiempo de servicio
- c es el número de servidores
- K es la capacidad del sistema
- N es la población total de posibles clientes
- D es la disciplina de la cola (por ejemplo, FIFO para primero en entrar, primero en salir)
Funciones de Little
Las leyes de Little son fórmulas fundamentales en la teoría de colas que relacionan la longitud promedio de la cola (L), la tasa promedio de llegadas (λ) y el tiempo de espera promedio en el sistema (W). La ley de Little establece que L = λW, lo que significa que el número promedio de clientes en el sistema es igual a la tasa de llegada multiplicada por el tiempo de espera promedio.
Estos son solo algunos de los conceptos básicos de la teoría de colas. Esta teoría proporciona las herramientas necesarias para analizar y optimizar los sistemas de espera, lo que puede llevar a mejoras significativas en la eficiencia y la satisfacción del cliente.
Costos de las Líneas de Espera
En las líneas de espera, existen dos costos perfectamente identificados:
Costo de las transacciones: Representa la cuantificación monetaria de la pérdida de tiempo al esperar recibir un servicio o la pérdida de clientes por abandono del sistema.
Costo de proporcionar el servicio: Representa la cantidad de dinero que hay que pagar por cuestión de sueldos y salarios, energía, mantenimiento y depreciación del personal o equipo.
El objetivo en la gestión de las líneas de espera es encontrar un equilibrio entre estos dos costos. Esto implica tomar decisiones sobre la cantidad de recursos a dedicar al servicio para minimizar el tiempo de espera de los clientes, sin incurrir en costos excesivos.
Tipos de Modelos de Colas Más Conocidos
Existen varios modelos de colas, cada uno con sus propias características y aplicaciones. Algunos de los más conocidos incluyen:
Modelo M/M/1: Es uno de los modelos de cola más básicos y más utilizados. Este modelo asume llegadas de Poisson, tiempos de servicio exponenciales y un solo servidor.
Modelo M/M/c: Es una extensión del modelo M/M/1 que permite múltiples servidores.
Modelo de cola con prioridad: En este modelo, algunos clientes tienen prioridad sobre otros y son atendidos primero.
Modelo de cola finita: Este modelo tiene en cuenta que la capacidad del sistema puede ser limitada.
Modelo de cola que se resiste y reniega: Este modelo considera la posibilidad de que los clientes abandonen la cola si la espera es demasiado larga.
Estos modelos proporcionan una base teórica para analizar y optimizar los sistemas de espera, lo que puede llevar a mejoras significativas en la eficiencia y la satisfacción del cliente.
TEORÍA DE COLAS | Explicación | Modelo M/M/1 | Formulario | Ejercicio resuelto | interpretación | probabilidades | línea de espera
El departamento de caballeros de un almacén tiene un sastre que realiza los ajustes a la medida. Parece que el número de clientes que necesitan ajustes siguen una distribución de Poisson con una tasa de llegadas de 24 por hora. Los ajustes se realizan con orden FIFO y los clientes siempre desean esperar porque los ajustes son gratis y el tiempo que toma realizar un ajuste tiene promedio de dos minutos
- ¿Qué porcentaje de tiempo permanece ocioso el sastre?
- ¿Cuál es la estadística de congestión del sistema?
- ¿Cuál es la probabilidad que hay línea de espera?
- ¿Cuál es la probabilidad que haya más de tres clientes en espera de ser atendidos?
- ¿Cuál es la probabilidad que un cliente espere los servicios del sastre menos de 10 minutos?
TEORÍA DE COLAS | Explicación | Modelo M/M/1 | M/M/2 |Formulario | Ejercicio resuelto | Sistema normal | sistema de cuadrillas
La empresa S contrató a un empleado cuyo trabajo consiste en cargar la carga desde los camiones que salen de la compañía. Los camiones llegan a la plataforma de carga a una tasa promedio de 24 al día o 3 cada hora, de acuerdo con una distribución de Poisson. El empleado carga a una tasa de 15 minutos para cada camión con una distribución exponencial en los tiempos de servicio.
Los conductores de camiones que trabajan reciben un salario de $10 por hora en promedio. Los cargadores de fruta reciben $6 por hora. Los conductores de camiones que están en la cola o en la plataforma de carga cobran un salario, aunque en realidad están inactivos y no generan utilidad en ese momento
Si se considera que agregar un segundo cargador de fruta mejorará sustancialmente la eficiencia de la empresa, se estima que con una cuadrilla de dos personas en la plataforma de carga actuando como un sistema de un único servidor, duplicará la tasa de carga de 4 a 8 camiones por hora. Determine los costos asociados al sistema de colas tanto de un trabajador como de dos ¿Qué solución tomaría?
TEORÍA DE COLAS | Explicación | Modelo M/M/1|Formulario | Ejercicio resuelto | Costos de espera | Decisión de costos | Silo
TEORÍA DE COLAS | Explicación | Modelo M/M/m| M/M/s | Formulario | Ejercicio resuelto | Sistema de canales múltiples | costos | Fórmulas
Teoría de Colas: Explicación, Modelo M/M/m, Formulario, Ejercicio Resuelto, Sistema de Canales Múltiples, Costos, Fórmulas
La teoría de colas es una rama de las matemáticas que estudia la formación de colas, su comportamiento y sus características. Se utiliza en diversas disciplinas como la ingeniería de tráfico, las telecomunicaciones, la logística y la gestión de operaciones para predecir y optimizar la gestión de la espera.
Modelo M/M/m o M/M/s
El modelo M/M/m (también conocido como M/M/s) es un modelo de cola que asume llegadas de Poisson (la primera ‘M’), tiempos de servicio exponenciales (la segunda ‘M’) y ‘m’ o ‘s’ servidores. Este modelo es útil para analizar sistemas con alta variabilidad en los tiempos de llegada y servicio, y múltiples servidores.
Sistema de Canales Múltiples
Un sistema de canales múltiples es aquel en el que hay más de un servidor disponible para atender a los clientes. En un modelo M/M/m, ‘m’ representa el número de servidores en el sistema. Estos sistemas son comunes en situaciones donde un solo servidor no sería capaz de manejar el volumen de llegadas, como en un supermercado o un centro de llamadas.
Costos
En la teoría de colas, los costos pueden surgir de varias fuentes, incluyendo el tiempo de espera de los clientes, el costo de proporcionar el servicio, y el costo de los clientes que abandonan la cola debido a largos tiempos de espera. El objetivo en la gestión de colas es equilibrar estos costos para minimizar el costo total del sistema.
Fórmulas
Las fórmulas en la teoría de colas se utilizan para calcular medidas de rendimiento del sistema, como la longitud promedio de la cola, el tiempo de espera promedio, y la utilización del servidor. Por ejemplo, en el modelo M/M/1, la longitud promedio de la cola (L) se puede calcular como
L=\frac{\rho^2}{1-\rho}donde
\rhoes la utilización del servidor.
TEORÍA DE COLAS | Explicación | Modelo M/M/1 | M/M/2 | Formulario | Ejercicio resuelto | Sistema de canales múltiples | Líneas de espera | Banco Comparativa
Ejercicio 13-24 Render
Ejercicio 13-25 Render
Ejercicio 13-26 Render
TEORÍA DE COLAS | Explicación | Modelo M/M/1 | M/M/2 | Formulario | Ejercicio resuelto | Líneas de espera | Comparación de alternativas
La empresa X que alquila ordenadores considera necesario revisarlos una vez al año. La primera alternativa, con un costo de $750 es hacer un mantenimiento manual en el que cada ordenador necesitaría un tiempo que sigue una distribución exponencial con una media de 6 horas. La segunda alternativa sería un mantenimiento con máquinas, con un costo de $1000, en este caso el tiempo de mantenimiento es de tres horas con una distribución exponencial. Para ambas alternativas los ordenadores llegan siguiendo una distribución de Poisson 3 al día. Se asume que la empresa trabaja 24 horas, 365 días al año
Calcular las características operacionales del servicio y los costos, con esta información contestar:
¿Qué alternativa debe elegir la empresa? Justifique la respuesta
TEORÍA DE COLAS | Explicación | Modelo M/M/m | M/M/s | Formulario | Ejercicio resuelto | Líneas de espera | metro
TEORÍA DE COLAS | Explicación | Modelo M/M/1 | M/M/s | M/M/m | M/M/k |M/D/1 | finito | Formulario | Ejercicios resuelto | Líneas de espera | POM QM
45:00 Ejercicio 13-11 La compañía Rockwell Electronics conserva una cuadrilla de servicio que repara las fallas de las máquinas, que ocurren con un promedio de λ=3 al día (aproximadamente de naturaleza de Poisson). La cuadrilla puede dar servicio a un promedio de μ=8 máquinas al día con una distribución de tiempo de reparación que se asemeja a la distribución exponencial. 1:00:50 Ejercicio 13-13 Mike Dreskin administra un gran complejo de cines en Los Ángeles llamado Cinemas I, II, III y IV. Cada uno de los cuatro auditorios proyecta una película distinta. Además, el programa está planeado de manera que los tiempos de inicio están escalonados para evitar las posibles aglomeraciones de personas de que se presentarían si las cuatro películas se iniciaran al mismo tiempo. . 1:14:25 Ejercicio 13-15 La temporada de cosecha de trigo en el medio oeste estadounidense es corta, y la mayoría de los granjeros entregan sus camiones con cargas del cereal a un silo (granero) central gigantesco en un lapso de dos semanas. Debido a esto, se sabe que los camiones llenos de trigo esperan para descargar y regresar a los campos a una cuadra de distancia del depósito. El silo central es de propiedad cooperativa, por lo cual beneficiaría a cada uno de los granjeros incrementar tanto como sea posible el nivel de eficacia del proceso de descarga y almacenaje. 1:30:50 Ejercicio 13-17 Los automóviles llegan a la ventanilla de atención en una oficina postal a una tasa de 4 cada 10 minutos. El tiempo promedio de servicio es de 2 minutos. La distribución de Poisson es adecuada para la tasa de llegadas y los tiempos de servicio se distribuyen de manera exponencial. 1:44:43 Ejercicio 13-19 Juhn and Sons Wholesale Fruit Distributors contrató a un empleado cuyo trabajo consiste en cargar la fruta en los camiones que salen de la compañía. Los camiones llegan a la plataforma de carga a una tasa promedio de 24 al día, o 3 cada hora, de acuerdo con una distribución de Poisson. El empleado los carga a una tasa promedio de 4 por hora, aproximadamente de acuerdo con una distribución exponencial en los tiempos de servicio. 1:56:28 Ejercicio 13-20 Juhn considera que agregar un segundo cargador de fruta mejorará sustancialmente la eficiencia de la empresa. Estima que, con una cuadrilla de dos personas en la plataforma de carga, aun actuando como un sistema de un único servidor, duplicaría la tasa de carga a de 4 a 8 camiones por hora. Analice el efecto en la cola con dicho cambio y compare los resultados con los que se encontraron en el problema 13-19 2:05:15 Ejercicio 13-21 Los conductores de camiones que trabajan para Juhn and Sons (véanse los problemas 13-19 y 13-20) reciben un salario de $10 por hora en promedio. Los cargadores de fruta reciben $6 por hora. Los conductores de camiones que están en la cola o en la plataforma de carga cobran su salario, aunque en realidad están inactivos y no generan utilidad en ese momento. 2:15:12 Ejercicio 13-22 La empresa Juhn and Sons Wholesale Fruit Distributors (del problema 13-19) considera la construcción de una segunda plataforma para acelerar el proceso de carga de la fruta en sus camiones. Se supone que esta medida será incluso más eficaz que simplemente contratar a otro cargador para ayudar en la primera plataforma (como en el problema 13-20). 2:36:25 Ejercicio 13-23 Bill First, gerente general de la tienda por departamentos Worthmore, ha calculado que cada hora que un cliente pierde esperando en una cola a que el encargado esté disponible cuesta a la tienda $100 en pérdidas de ventas y buena voluntad. Los clientes llegan al mostrador a una tasa de 30 por hora y el tiempo promedio de servicio es de 3 minutos. La distribución de Poisson describe las llegadas, mientras que los tiempos de servicio se distribuyen exponencialmente. 3:22:27 Ejercicio 13-24 El Billy’s Bank es el único en un pueblo pequeño de Arkansas. En un viernes típico un promedio de 10 clientes por hora llega al banco para realizar transacciones financieras. Hay un solo cajero en el banco y el tiempo promedio requerido para realizar las operaciones es de 4 minutos. Se supone que los tiempos de servicio se pueden describir por medio de una distribución exponencial. 3:29:20 Ejercicio 13-25 Remítase a la situación del Billy’s Bank en el problema 13-24. Billy considera la contratación de un segundo cajero (quien trabajaría al mismo ritmo que el primero), con la finalidad de reducir el tiempo de espera de los clientes, 3:34:46 Ejercicio 13-27 Los clientes llegan a una máquina automatizada de venta de café a una tasa de 4 por minuto, siguiendo una distribución de Poisson. La máquina de café despacha una taza de café exactamente en 10 segundos. 3:41:10 Ejercicio 13-29 Un mecánico da servicio a 5 máquinas taladradoras de un fabricante de placas de acero. Las máquinas se descomponen, en promedio, una vez cada 6 días laborables, y las descomposturas tienden a seguir una distribución de Poisson.
TEORÍA DE COLAS | PROGRAMACIÓN LINEAL | MÉTODO DE TRANSPORTE
Una pequeña fábrica de muebles produce mesas y sillas, tarda 2 horas en ensamblar una mesa y 45 minutos en armar una silla. El ensamblaje lo realizan 10 trabajadores sobre la base de un solo turno de 8 horas cada uno. Los clientes suelen comprar cuando menos 5 sillas con cada mesa, lo que significa que la fábrica debe producir 5 veces más sillas que mesas. Se dispone de material para producir como máximo 50 mesas. El precio de venta es de $140 por mesa y $50 por silla. Determinar la cantidad óptima de las ventas.
¿Cuáles son las ventas óptimas?: 5426,087
¿Cuál es el número óptimo de mesas?: 13,91
¿Cuántas horas de ensamblaje efectivamente se utilizaron?: 80
¿Cuánto minutos se deberá asignar para las mesas?: 1669,56
¿Cuál es la venta total de sillas?: 3478,26
El gerente de producción de la compañía FV Ecuador, está planteando una serie de periodos de producción de un mes para fabricar fregaderos de acero inoxidables (tarjas). La demanda de los próximos cuatro meses es: 110, 120, 240, 150. De manera normal, la compañía puede producir 90 fregaderos de acero inoxidable al mes, esto se hace durante las horas regulares de producción a un costo de $90 por fregadero. Si la demanda en todo un mes no puede ser satisfecha por la producción regular, el gerente de producción tiene otras tres opciones:
- Producir hasta 50 fregaderos más al mes en horas extras, pero un cobro de $120 por fregadero
- Comprar un número limitado de fregaderos a un competidor amigable para su reventa (el número máximo de compras externas durante el periodo de 4 meses es de 450 fregaderos a un costo de $200 cada uno)
- Satisfacer la demandad usando un inventario disponible. El costo mensual de mantener en inventario es de $30 por fregadero (independiente de los días que esté en inventario). El inventario disponible al principio del mes es de 50 fregaderos
Configure el problema
La cooperativa “GALAPAGOS” es la única institución financiera en un pequeño pueblo. En un viernes típico, un promedio de 12 clientes por hora llega para realizar transacciones comerciales. Hay un solo cajero y el tiempo promedio necesario para realizar transacciones es de 4 minutos. Se supone que los tiempos de servicio pueden describirse mediante la distribución exponencial. Aunque es la única institución financiera en el pueblo, algunas personas han comenzado a utilizar el banco de un pueblo vecino a unos 20 kilómetros de distancia. Como estrategia para no perder clientes, se ha propuesto la adición de un segundo cajero (quien trabajaría al mismo ritmo que el primero) para reducir el tiempo de espera de los clientes, y supone que esto reduciría el tiempo de espera a la mitad. Se utilizaría una sola línea y el cliente al frente de la fila iría a la primera caja disponible. El salario de un cajero sería de $12 por hora. La atención al público es de 8 horas al día. Se ha estimado que el costo del tiempo de espera es de $30 por hora en la línea.
Cuál es el número promedio de clientes que esperan recibir el servicio en la situación actual: 3,2
Cuál es el número promedio de clientes que esperan recibir el servicio en la situación propuesta: 0,15
Cuál es el tiempo promedio en el sistema de la situación propuesta: 0,08
Cuál es el costo total diario en la situación actual: 1056
Cuál es el costo total diario en la situación propuesta: 420
El candidato a la alcaldía asignó $50000 para propaganda de último minuto en los días anteriores a la elección. Se utilizarán dos tipos de anuncios: radio y televisión. Cada anuncio de radio cuesta $200 y llega a unas 3000 personas. Cada anuncio de televisión cuesta $600 y llega a un estimado de 7000 personas. En la planeación de la campaña de propaganda, la jefa de la campaña quiere llegar a tantas personas como sea posible, aunque ha establecido que se deben utilizar al menos 20 anuncios en radio y cuando más 70 en televisión. Asimismo, el número de anuncios de radio debe ser al menos tan grande como el número de anuncios de televisión.
A cuantas personas llegará: 750000
A cuantas personas llegará solo con los anuncios de tv: 0
Cuál es la holgura del presupuesto asignado: 0
Cuál es el presupuesto utilizado solo para anuncios de radio: 50000
Cuál es el excedente de anuncios de radio: 230
La empresa contrató a un empleado cuyo trabajo consiste en cargar la fruta en los camiones que salen de la compañía. Los camiones llegan a la plataforma de carga a una tasa promedio de 24 al día, o 3 cada hora, de acuerdo con una distribución de Poisson. El empleado los carga a una tasa promedio de 15 minutos para cada camión con una distribución exponencial en los tiempos de servicio. Los conductores de camiones que trabajan reciben un salario de $10 por hora en promedio. Los cargadores de fruta reciben $6 por hora. Los conductores de camiones que están en la cola o en la plataforma de carga cobran su salario, aunque en realidad están inactivos y no generan utilidad en ese momento. Si se propone agregar un segundo cargador de fruta mejorará sustancialmente la eficiencia de la empresa, se estima que con una cuadrilla de dos personas en la plataforma de carga, aun actuando como un sistema de un solo servidor, duplicaría la tasa de carga a de 4 a 8 camiones por hora. Determine los costos asociados tanto de un trabajador como de dos. Qué resolución tomaría.
Cuál es el número promedio de clientes que esperan recibir el servicio en la situación actual: 2,25
Cuál es el número promedio de clientes que esperan recibir el servicio en la situación propuesta: 0,23
Cuál es el tiempo promedio en el sistema de la situación propuesta: 0,2
Cuál es el costo total en la situación actual: 36
Cuál es el costo total en la situación propuesta: 18
El Decano de la Facultad de Administración ha decidido aplicar un método nuevo para asignar a profesores a las asignaturas del siguiente semestre. Como criterio para juzgar quién debe enseñar cada asignatura, el Decano revisa las evaluaciones de profesores hechas por estudiantes de los dos semestres anteriores. Como cada uno de los cuatro profesores ha enseñado las cuatro asignaturas en algún momento durante los dos semestres, el Decano puede registrar una puntuación de la asignatura para cada profesor. Las puntuaciones se muestran en la tabla que sigue. Encuentre la mejor asignación de profesores para las asignaturas que maximice la puntuación general de enseñanza
Cuál es la puntuación total óptima: 300
Para Inv. Operativa que profesor debe asignarse: Paola
Para Héctor que asignatura debe asignarse: Estadística
En el caso de que el Profesor Marcelo no pueda asignarse la asignatura de Contabilidad, Cuál es la nueva puntuación total óptima: 270
Una pequeña fábrica de muebles produce mesas y sillas, tarda 1 horas en ensamblar una mesa y 30 minutos en armar una silla. El ensamblaje lo realizan 3 trabajadores sobre la base de un solo turno de 8 horas cada uno. Los clientes suelen comprar cuando menos 5 sillas con cada mesa, lo que significa que la fábrica debe producir 5 veces más sillas que mesas. Se dispone de material para producir como máximo 6 mesas. El precio de venta es de $135 por mesa y $50 por silla. Determinar la cantidad óptima de las ventas.
¿Cuáles son las ventas óptimas?:
¿Cuánto minutos se deberá asignar para las mesas?:
¿Cuántas horas de ensamblaje efectivamente se utilizaron?:
¿Cuántas sillas se deben elaborar?: