CASOS DE FACTOREO
¿QUÉ ES FACTOREO?
¿Qué es factorar?
La factorización o el proceso de factorar en álgebra es una habilidad importante que todo estudiante de matemáticas debe dominar. En este video, se explica el inicio de factoreo donde se menciona ¿Qué es factoreo? y se empieza desde el preámbulo, para los casos de factoreo, se puede registrar desde qué es un TÉRMINO ALGEBRAICO, hasta finalizar con la forma de reconocer BINOMIOS, TRINOMIOS, POLINOMIOS, y cuál es el objetivo de factorar, es decir transformar de una suma o resta en un producto, multiplicación o factor. La factorización de expresiones algebraicas es una técnica que se utiliza para simplificar expresiones y resolver ecuaciones. Al aprender y aplicar técnicas de factorización, los estudiantes pueden mejorar su capacidad para analizar y resolver problemas algebraicos más complejos. Además, la factorización es una habilidad que se puede aplicar en diferentes contextos, como en la interpretación y manipulación de expresiones matemáticas en la vida cotidiana. En este video, se cubren los casos de factoreo más comunes, como binomios y trinomios, y se demuestran a través de ejemplos claros. Al dominar la factorización, los estudiantes pueden abordar problemas más avanzados en matemáticas y aplicar los conocimientos adquiridos a través de ejemplos prácticos de factorización.
FACTOR COMÚN
Factor común
En el campo de las matemáticas, específicamente en el álgebra, el término “factor común” se utiliza con frecuencia. Este concepto es fundamental para simplificar y resolver ecuaciones algebraicas.
Un “factor común” se refiere a un número o una expresión algebraica que divide exactamente a dos o más números o expresiones algebraicas. Por ejemplo, si se consideran los números 12 y 18, el número 6 es un factor común, ya que 6 divide exactamente tanto a 12 como a 18.
La técnica de “factorización por factor común” es un método utilizado para simplificar ecuaciones algebraicas. Consiste en identificar y extraer el factor común de todos los términos de la ecuación. Por ejemplo, en la expresión
4 x^2+8 xel factor común es
4 x. Al extraer este factor común, la expresión se simplifica a
La factorización por factor común es una herramienta esencial en el álgebra. Permite simplificar ecuaciones complejas, facilita la resolución de ecuaciones y es fundamental para entender conceptos más avanzados como la factorización de polinomios.
Es importante notar que la identificación de factores comunes requiere un sólido entendimiento de las reglas de la divisibilidad y de las propiedades de los números y las expresiones algebraicas. La práctica constante y la familiarización con estas reglas y propiedades son esenciales para dominar el concepto de factor común y la técnica de factorización por factor común.
En resumen, el factor común es un concepto fundamental en el álgebra que permite simplificar y resolver ecuaciones algebraicas. Su comprensión y aplicación correcta son esenciales para el estudio de las matemáticas.
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Diferencia de Cuadrados
En el ámbito del álgebra, la “diferencia de cuadrados” es un patrón especial que se presenta cuando se tiene la diferencia de dos términos, cada uno de los cuales es un cuadrado perfecto.
La fórmula general para la diferencia de cuadrados es
a^2-b^2=(a+b)(a-b)Por ejemplo, consideremos la expresión
x^2-9Aquí,
x^2es un cuadrado perfecto, al igual que 9
3^2 Por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de la diferencia de cuadrados para factorizar esta expresión. Esto nos daLa factorización por diferencia de cuadrados es una herramienta valiosa en el álgebra. Permite simplificar ecuaciones complejas, facilita la resolución de ecuaciones y es fundamental para entender conceptos más avanzados como la factorización de polinomios.
Es importante notar que la identificación de la diferencia de cuadrados requiere un sólido entendimiento de las reglas de la multiplicación y de las propiedades de los números y las expresiones algebraicas. La práctica constante y la familiarización con estas reglas y propiedades son esenciales para dominar el concepto de la diferencia de cuadrados y la técnica de factorización por diferencia de cuadrados.
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
Suma o diferencia de cubos
En el álgebra, las fórmulas de la suma y la diferencia de cubos son técnicas útiles para factorizar ciertas expresiones algebraicas.
La fórmula general para la suma de cubos es
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)Por otro lado, la fórmula general para la diferencia de cubos es
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)Por ejemplo, consideremos la expresión
x^3+8Aquí,
x^3es un cubo perfecto, al igual que 8
2^3 Por lo tanto, podemos aplicar la fórmula de la suma de cubos para factorizar esta expresión. Esto nos daDe manera similar, para la expresión
x^3-27donde
x^3y 27
3^3 son cubos perfectos, podemos aplicar la fórmula de la diferencia de cubos para obtenerEstas fórmulas son herramientas valiosas en el álgebra. Permiten simplificar ecuaciones complejas y son fundamentales para entender conceptos más avanzados como la factorización de polinomios.
Es importante notar que la identificación de la suma y la diferencia de cubos requiere un sólido entendimiento de las reglas de la multiplicación y de las propiedades de los números y las expresiones algebraicas. La práctica constante y la familiarización con estas reglas y propiedades son esenciales para dominar estos conceptos y técnicas de factorización.
En resumen, la suma y la diferencia de cubos son conceptos fundamentales en el álgebra que permiten simplificar y resolver ecuaciones algebraicas. Su comprensión y aplicación correcta son esenciales para el estudio de las matemáticas.
SUMA O DIFERENCIA DE TÉRMINOS CON POTENCIAS IMPARES
Suma o diferencia de términos con potencias impares
En el álgebra, la factorización de la suma o diferencia de términos con exponentes impares puede ser un desafío, ya que no existen fórmulas de factorización directas como en el caso de la diferencia de cuadrados o la suma/diferencia de cubos.
Por ejemplo, para una expresión como
a^5-b^5 ono hay una fórmula simple que pueda aplicarse para factorizar la expresión. En cambio, se deben utilizar técnicas más avanzadas de factorización, que pueden incluir la factorización por agrupación, la factorización de polinomios y la aplicación de identidades algebraicas.
Es importante tener en cuenta que estas técnicas requieren un sólido entendimiento de las reglas de la multiplicación y de las propiedades de los números y las expresiones algebraicas. La práctica constante y la familiarización con estas reglas y propiedades son esenciales para dominar estos conceptos y técnicas de factorización.
En resumen, aunque la factorización de la suma o diferencia de términos con exponentes impares puede ser más compleja que la factorización de términos con exponentes pares, sigue siendo un concepto fundamental en el álgebra que permite simplificar y resolver ecuaciones algebraicas. Su comprensión y aplicación correcta son esenciales para el estudio de las matemáticas. Sin embargo, para exponentes impares más altos, la factorización puede ser más compleja y no siempre es posible en términos de expresiones algebraicas estándar.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP)
Trinomio cuadrado perfecto (TCP)
Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica que consta de tres términos y es el resultado del cuadrado de un binomio. Se puede reconocer por su forma general
a^2+2ab+b^2 oEl factoreo de un trinomio cuadrado perfecto se realiza identificando los términos
ay
by luego escribiendo la expresión como
(a+b)^2o
(a-b)^2 respectivamente.Por ejemplo, considera el trinomio cuadrado perfecto
x^2+6x+9 Aquí,a=x yya que
3^2=9Por lo tanto, este trinomio se puede factorizar como
(x+3)^2El factoreo es una herramienta útil en matemáticas porque simplifica las expresiones y facilita la resolución de ecuaciones. En el caso de los trinomios cuadrados perfectos, el factoreo nos permite reducir una expresión de tres términos a una de dos términos, lo que a menudo simplifica los cálculos.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO INCOMPLETO
Trinomio cuadrado perfecto incompleto
Un trinomio cuadrado perfecto incompleto es una expresión algebraica que consta de dos términos y se puede completar para formar un trinomio cuadrado perfecto. La forma general de un trinomio cuadrado perfecto incompleto es
a^2+2ab oa^2-2ab
Para completar un trinomio cuadrado perfecto incompleto, necesitamos agregar el término que falta, que es
b^2 Luego, el trinomio cuadrado perfecto completo seráPor ejemplo, considera el trinomio cuadrado perfecto incompleto
x^2+6xAquí,
a=x yya que
2ab=6xPara completarlo, necesitamos agregar el término que falta, que es
3^2=9 Por lo tanto, el trinomio cuadrado perfecto completo esCOMBINACIÓN DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y DIFERENCIA DE CUADRADOS
Combinación de trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados
La diferencia de cuadrados y el trinomio cuadrado perfecto son dos conceptos fundamentales en álgebra que a menudo se utilizan juntos en la factorización de expresiones algebraicas.
La diferencia de cuadrados es una expresión de la forma
a^2-b^2que se puede factorizar como
(a+b)(a-b) . Por ejemplo, la expresión(x+3)(x-3)
Por otro lado, un trinomio cuadrado perfecto es una expresión de la forma
a^2+2ab+b^2o
a^2 -2ab+b^2 que se puede factorizar como(a+b)^2
orespectivamente. Por ejemplo, el trinomio
x^2 +6x+9 es un trinomio cuadrado perfecto, ya que se puede escribir comoCuando se combinan estos dos conceptos, se pueden factorizar expresiones más complejas. Por ejemplo, considera la expresión
x^4 -9x^2Esta es una diferencia de cuadrados, donde
a=x^2y
b=3 . Por lo tanto, se puede factorizar comoTRINOMIO DE LA FORMA x^2+bx+c o x^2+px+q
trinomio de la forma
El trinomio de la forma
x^2+bx+cUn trinomio de la forma
x^2+px+qes una expresión algebraica que consta de tres términos. En esta expresión
es la variable, mientras que
b
y
c
son coeficientes constantes.
La factorización de un trinomio de esta forma se puede realizar utilizando varios métodos, incluyendo el método de completar el cuadrado, la factorización por agrupación y la fórmula cuadrática.
Completar el cuadrado: Este método implica reescribir el trinomio en la forma
(x+d)^2-edonde
d=\frac{b}{2}y
e=(\frac{b}{2}-c)Luego, se puede factorizar la expresión resultante si
ees un cuadrado perfecto.
Factorización por agrupación: Este método implica buscar dos números que sumen
by multipliquen
c
Si existen tales números, el trinomio se puede reescribir como
(x+d)(x+e)donde
d
y
e
son los números encontrados.
Fórmula cuadrática: Si los otros métodos fallan, se puede utilizar la fórmula cuadrática
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}para encontrar las raíces del trinomio, que luego se pueden usar para factorizar la expresión.
TRINOMIO DE LA FORMA ax^2+bx+c o mx^2+px+q
Trinomio de la forma
Un trinomio de la forma
mx^2+px+qes una expresión algebraica que consta de tres términos. En esta expresión,
es la variable, mientras que
a
b
y
c
son coeficientes constantes.
La factorización de un trinomio de esta forma se puede realizar utilizando varios métodos, incluyendo el método de completar el cuadrado, la factorización por agrupación y la fórmula cuadrática.
Completar el cuadrado: Este método implica reescribir el trinomio en la forma
a(x+d)^2-edonde
d=\frac{b}{2a}y
e=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}Luego, se puede factorizar la expresión resultante si
ees un cuadrado perfecto.
Factorización por agrupación: Este método implica buscar dos números que sumen
by multipliquen
acSi existen tales números, el trinomio se puede reescribir como
(dx+e)(fx+g)donde
d ef
y
gson los números encontrados.
Fórmula cuadrática: Si los otros métodos fallan, se puede utilizar la fórmula cuadrática
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}para encontrar las raíces del trinomio, que luego se pueden usar para factorizar la expresión.
FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN
Factor común por agrupación
El factor común por agrupación es un método de factorización que se utiliza cuando una expresión algebraica tiene cuatro o más términos. Este método se basa en la idea de que se pueden agrupar los términos de la expresión de tal manera que cada grupo tenga un factor común.
Aquí están los pasos para factorizar por agrupación:
Agrupar los términos: Primero, debes agrupar los términos de la expresión de tal manera que cada grupo tenga un factor común. Por lo general, esto implica agrupar los primeros dos términos juntos y los últimos dos términos juntos, pero puede variar dependiendo de la expresión.
Factorizar cada grupo: Luego, debes factorizar cada grupo por separado. Esto implica encontrar el factor común de cada grupo y escribir la expresión como el producto de este factor común y el resto de los términos.
Factorizar el factor común: Finalmente, debes buscar un factor común en los dos términos resultantes. Si existe, puedes factorizar la expresión completa escribiéndola como el producto de este factor común y el resto de los términos.
Por ejemplo, considera la expresión
ax^3+ax^2+bx+bAquí, puedes agrupar los términos como
(ax^3+ax^2)+(bx+b)Luego, puedes factorizar cada grupo para obtener
a(x^2+x)+b(x+1)Finalmente, puedes factorizar el factor común
x+1 para obtenerFACTORIZACIÓN MÉTODO DE RUFFINI | DIVISIÓN SINTÉTICA
Factorización Método de Ruffini o División sintética
El método de Ruffini, también conocido como división sintética, es un algoritmo que se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio de la forma
x-a Este método es una alternativa más rápida y sencilla a la división polinómica tradicional.Aquí están los pasos para realizar la división sintética:
Escribir los coeficientes: Primero, debes escribir los coeficientes del polinomio en una fila. Si falta algún término en el polinomio, debes incluir un 0 para ese término.
Escribir el divisor: Luego, debes escribir el valor de
aen una columna a la izquierda de los coeficientes.
Dividir y multiplicar: A continuación, debes llevar el primer coeficiente hacia abajo sin cambiarlo. Luego, debes multiplicar este número por
ay escribir el resultado debajo del segundo coeficiente. Sumas estos dos números y repites el proceso hasta que hayas hecho esto para todos los coeficientes.
Escribir el resultado: Finalmente, los números que has obtenido forman los coeficientes del cociente y el último número es el residuo.
Por ejemplo, si quieres dividir
2x^3-3x^2+2x-1entre
x-1los coeficientes son 2, -3, 2, -1 y
a=1Después de realizar la división sintética, obtienes los coeficientes 2, -1, 1, 0, lo que significa que el cociente es
2x^2-x+1y el residuo es 0.
MISCELÁNEA DE FACTOREO | 125 EJERCICIOS DE FACTOREO RESUELTOS
Ejercicios resueltos de factorización 125
Factor común: Este es el caso más simple de factoreo. Si todos los términos en una expresión tienen un factor común, puedes factorizar la expresión sacando ese factor común. Por ejemplo, en la expresión
2x^3+4x^2el factor común es
2x^2por lo que la expresión se puede factorizar como
2x^2(x+2)Diferencia de cuadrados: Una expresión de la forma
a^2-b^2se puede factorizar como
(a+b)(a-b)Por ejemplo,
x^2-9se puede factorizar como
(x+3)(x-3)Trinomio cuadrado perfecto: Un trinomio de la forma
a^2+2ab+b^2o
a^2-2ab+b^2se puede factorizar como
(a+b)^2o
(a-b)^2respectivamente. Por ejemplo,
x^2+6x+9se puede factorizar como
(x+3)^2Trinomio de la forma ax^2+bx+c
Este tipo de trinomio se puede factorizar buscando dos números que sumen
b
y multipliquen
ac
Si existen tales números, el trinomio se puede reescribir como
(dx+e)(fx+g)donde
de
fy
g
son los números encontrados.
Factorización por agrupación: Este método se utiliza cuando una expresión tiene cuatro o más términos. Implica agrupar los términos de tal manera que cada grupo tenga un factor común, y luego factorizar cada grupo por separado.
Método de Ruffini o división sintética: Este método se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio de la forma
x-aEs una alternativa más rápida y sencilla a la división polinómica tradicional.