ÁNGULOS GEOMETRÍA
👩🏫ÁNGULOS📗 Sistemas de medición de Ángulos |Clasificación| ángulos entre paralelas| líneas notables
1. Definición de Ángulo y Sistema de Medición
Concepto de Ángulo
En geometría, un ángulo es la apertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto, llamado vértice. La magnitud del ángulo mide la rotación necesaria para alinear una semirrecta con la otra, y se expresa en unidades específicas.
Sistema Sexagesimal
El sistema sexagesimal es el más común para medir ángulos. En este sistema:
- Un círculo completo tiene 360 grados (°).
- Cada grado se divide en 60 minutos (‘).
- Cada minuto se divide en 60 segundos («).
Sistema Centesimal
El sistema centesimal divide el círculo en 400 grados centesimales (g):
- Cada grado se divide en 100 minutos (m).
- Cada minuto se divide en 100 segundos (s).
Ambos sistemas se usan según el contexto, siendo el sexagesimal el más habitual en geometría elemental.
2. Clasificación de los Ángulos
Ángulos Según su Magnitud
- Ángulo Agudo: Mide menos de 90°.
- Ángulo Recto: Mide exactamente 90°.
- Ángulo Obtuso: Mide entre 90° y 180°.
- Ángulo Llano: Mide exactamente 180°.
- Ángulo Cóncavo: Mide entre 180° y 360°.
- Ángulo Completo: Mide 360°, cerrando un círculo completo.
Ángulos Consecutivos y Adyacentes
- Ángulos Consecutivos: Comparten un vértice y un lado, pero no tienen lados superpuestos.
- Ángulos Adyacentes: Son consecutivos y sus lados no comunes forman una línea recta, sumando 180°.
3. Ángulos entre Líneas Paralelas y Transversales
Cuando dos líneas paralelas son cortadas por una transversal, se forman varios ángulos que tienen propiedades especiales.
Ángulos Alternos Internos y Externos
- Ángulos Alternos Internos: Están en el interior de las paralelas y a lados opuestos de la transversal. Son congruentes.
- Ángulos Alternos Externos: Se encuentran fuera de las líneas paralelas, en lados opuestos de la transversal, y también son congruentes.
Ángulos Correspondientes
Estos ángulos están en el mismo lado de la transversal y en la misma posición relativa respecto a las paralelas. Son siempre congruentes.
Ángulos Opuestos por el Vértice
Cuando dos líneas se cruzan, se forman cuatro ángulos. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, lo que significa que tienen la misma medida.
4. Líneas Notables en Geometría y su Relación con los Ángulos
En geometría, ciertas líneas dentro de figuras geométricas son especialmente importantes, ya que dividen ángulos o segmentos de manera equitativa o particular. Entre las más destacadas están:
1. Bisectriz de un Ángulo
La bisectriz es una línea que divide un ángulo en dos partes iguales. En los triángulos, la bisectriz juega un rol fundamental para hallar puntos equidistantes a los lados del ángulo.
2. Mediatriz de un Segmento
La mediatriz es una línea perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio. Todos los puntos en la mediatriz son equidistantes de los extremos del segmento.
3. Altura
La altura es una línea perpendicular desde un vértice de un triángulo hasta el lado opuesto o su prolongación. Es clave para calcular áreas y resolver diversos problemas geométricos.
5. Ejercicios Resueltos de Ángulos
Ejercicio 1: Cálculo de Ángulos en Paralelas Cortadas por una Transversal
Enunciado:
Dos líneas paralelas son cortadas por una transversal. Uno de los ángulos alternos internos mide 65°. ¿Cuánto mide el otro ángulo alterno interno?
Solución:
Los ángulos alternos internos son congruentes. Si un ángulo mide 65°, el otro ángulo alterno interno también mide 65°.
Ejercicio 2: Suma de Ángulos Interiores en un Triángulo
Enunciado:
En un triángulo, los ángulos interiores miden 40°, 70° y un ángulo desconocido. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo?
Solución:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es 180°. Entonces:
40°+70°+x=180°40° + 70° + x = 180° x=180°−110°=70°x = 180° – 110° = 70°
El tercer ángulo mide 70°.
Ejercicio 3: Ángulos en Polígonos Regulares
Enunciado:
Encuentra la medida de cada ángulo interior en un pentágono regular.
Solución:
La fórmula para hallar la suma de los ángulos interiores de un polígono de nn lados es:
S=(n−2)×180°S = (n – 2) \times 180°
Para un pentágono (n=5n = 5):
S=(5−2)×180°=3×180°=540°S = (5 – 2) \times 180° = 3 \times 180° = 540°
Como el pentágono es regular, todos sus ángulos interiores son iguales, así que dividimos la suma total por 5:
540°5=108°\frac{540°}{5} = 108°
Cada ángulo interior mide 108°.
6. Conclusiones
El estudio de los ángulos en geometría plana es esencial para comprender las relaciones entre las figuras geométricas. A través de ejercicios y demostraciones, hemos explorado cómo los ángulos se comportan entre líneas paralelas, cómo se clasifican y cómo se relacionan con las líneas notables. Este conocimiento es clave para resolver problemas geométricos más avanzados.
Encuentre el valor funcional
A=(8x-4y+2)+(3x+2y-5) cuando x=0 y=1 B=(3a+7b-9)+(5a+9b+21) cuando x=25 y=36 D=\frac{(x+y)^3 +(x-y)^2(x+y+z)+(x-y+z)^2 }{(2x+3y+z)^2}Realizar las siguientes operaciones
-5+6+2-4 3a-8a+2a+6a-5a 7x-2x+6x-10x+4x-5x-x x+x^2+x^3+1-2x^2-5x-3+2x^3+6x^2-2x y^4-y^2+6-3y^4+2y^2-8+y^4-3y^2 -4+3x^2y^2z^2+5+2x^2y^2z^2-6-8x^2y^2z^2+6x^2y^2z^2 5x^{-2}y+3xy^{-2}-2x^{-2}y+3x^{-2}y+4xy^{-2} \frac{2}{3} xy-\frac{1}{6}xy+\frac{1}{2}x^2y^2-\frac{3}{4}xy+2x^2y^2 4x^ny^m+2x^ny^m-5x^2y^m-3x^ny^m+6x^2y^m (a-2b+3c+d)+(-a+2b+c-2d)+(3a+b+c+d)(8a^5b^2-12a^4b^4+6a^2b^4)+(-6a^5b^2+7a^4b^4-2a63b^3)+(3a^5b^2-6a^4b^4-3a^2b^4+7a^3b^3<span style="font-size: 16px;">
De a-b restar c-d
De 3x^-5x+4 restar x^2+2x+1
De 2x^2-3x+1 restar x^3-x^2+3x-8
Restar x^4+x^2+2 de x^3-2x^2-5x+6
Restar 2x^{n+2}-5x^{n+1}+3x^n+x^{n-1} de 3x^{n+2}-2x^{n+1}-6x^n +2x^{n-1}
(x^2-5x+1)+(3x-1) (x+y+z)-(x-y-z)+(-x+y-z)-(x-y+z) x^3-(x^3+y^3-z^3)+y^3+(x^3-y^3+z^3)-z^3 a-{2b-[a-(3b-c+2c-(a-b-c))]} 3xy^2-(3x^2y-y^3)+[y^3+(3x^2y-3xy^2+y^3)-x^3]4-x-[-x-[x-(x-(1-x))]] x+(a-[a-2-{2a+1}+3]-a) 8x-(2y-4x)-[3y-()2y-x]-[2y+(4x-3y)] (-3x)(x^2-5x+6) (-\frac{1}{2} xyz)(x^2+y^2+z^2-2xy-2xy-2xz+2yz)x^n(x^3-2x^2+5x+6) (x+8)(x+5) (x-5)(2x-3) (x-4)(x-3) (x-2y+z)(x+y-2z) (a^2+b^2+ab)(a^2+b^2-ab) (x^4+y^4-x^2y^2)(x^2+y^2) (x+y)(x^3-x^2y+xy^2-y^3)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)(x+y) (6x^4-3x^2y^2-11xy^3-4y^4)(x^3-2x^2y+xy^2-y^3) -\frac{15x^3y^2}{5xy} \frac{34m^4n^3p}{14mnpq} \frac{2x^2-5x+6}{x-3} \frac{x^4-2x^3-20x^2+x+6}{x+4} \frac{3x^4-25x^2-5x+8}{x+3} \frac{2x^4+5x^3y-3xy^3+y^4}{x^2+2xy-3y^2} \frac{a^6-b^6}{a^2-ab+b^2}❎ Resolver Problemas ÁNGULOS Plantear Ecuaciones Ángulos Complementarios Suplementarios 📗CALVACHE
1. Definición de Ángulo y Sistema de Medición
Concepto de Ángulo
En geometría, un ángulo es la apertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto, llamado vértice. La magnitud del ángulo mide la rotación necesaria para alinear una semirrecta con la otra, y se expresa en unidades específicas.
Sistema Sexagesimal
El sistema sexagesimal es el más común para medir ángulos. En este sistema:
- Un círculo completo tiene 360 grados (°).
- Cada grado se divide en 60 minutos (‘).
- Cada minuto se divide en 60 segundos («).
Sistema Centesimal
El sistema centesimal divide el círculo en 400 grados centesimales (g):
- Cada grado se divide en 100 minutos (m).
- Cada minuto se divide en 100 segundos (s).
Ambos sistemas se usan según el contexto, siendo el sexagesimal el más habitual en geometría elemental.
2. Clasificación de los Ángulos
Ángulos Según su Magnitud
- Ángulo Agudo: Mide menos de 90°.
- Ángulo Recto: Mide exactamente 90°.
- Ángulo Obtuso: Mide entre 90° y 180°.
- Ángulo Llano: Mide exactamente 180°.
- Ángulo Cóncavo: Mide entre 180° y 360°.
- Ángulo Completo: Mide 360°, cerrando un círculo completo.
Ángulos Consecutivos y Adyacentes
- Ángulos Consecutivos: Comparten un vértice y un lado, pero no tienen lados superpuestos.
- Ángulos Adyacentes: Son consecutivos y sus lados no comunes forman una línea recta, sumando 180°.
3. Ángulos entre Líneas Paralelas y Transversales
Cuando dos líneas paralelas son cortadas por una transversal, se forman varios ángulos que tienen propiedades especiales.
Ángulos Alternos Internos y Externos
- Ángulos Alternos Internos: Están en el interior de las paralelas y a lados opuestos de la transversal. Son congruentes.
- Ángulos Alternos Externos: Se encuentran fuera de las líneas paralelas, en lados opuestos de la transversal, y también son congruentes.
Ángulos Correspondientes
Estos ángulos están en el mismo lado de la transversal y en la misma posición relativa respecto a las paralelas. Son siempre congruentes.
Ángulos Opuestos por el Vértice
Cuando dos líneas se cruzan, se forman cuatro ángulos. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, lo que significa que tienen la misma medida.
4. Líneas Notables en Geometría y su Relación con los Ángulos
En geometría, ciertas líneas dentro de figuras geométricas son especialmente importantes, ya que dividen ángulos o segmentos de manera equitativa o particular. Entre las más destacadas están:
1. Bisectriz de un Ángulo
La bisectriz es una línea que divide un ángulo en dos partes iguales. En los triángulos, la bisectriz juega un rol fundamental para hallar puntos equidistantes a los lados del ángulo.
2. Mediatriz de un Segmento
La mediatriz es una línea perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio. Todos los puntos en la mediatriz son equidistantes de los extremos del segmento.
3. Altura
La altura es una línea perpendicular desde un vértice de un triángulo hasta el lado opuesto o su prolongación. Es clave para calcular áreas y resolver diversos problemas geométricos.
5. Ejercicios Resueltos de Ángulos
Ejercicio 1: Cálculo de Ángulos en Paralelas Cortadas por una Transversal
Enunciado:
Dos líneas paralelas son cortadas por una transversal. Uno de los ángulos alternos internos mide 65°. ¿Cuánto mide el otro ángulo alterno interno?
Solución:
Los ángulos alternos internos son congruentes. Si un ángulo mide 65°, el otro ángulo alterno interno también mide 65°.
Ejercicio 2: Suma de Ángulos Interiores en un Triángulo
Enunciado:
En un triángulo, los ángulos interiores miden 40°, 70° y un ángulo desconocido. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo?
Solución:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es 180°. Entonces:
40°+70°+x=180°40° + 70° + x = 180° x=180°−110°=70°x = 180° – 110° = 70°
El tercer ángulo mide 70°.
Ejercicio 3: Ángulos en Polígonos Regulares
Enunciado:
Encuentra la medida de cada ángulo interior en un pentágono regular.
Solución:
La fórmula para hallar la suma de los ángulos interiores de un polígono de nn lados es:
S=(n−2)×180°S = (n – 2) \times 180°
Para un pentágono (n=5n = 5):
S=(5−2)×180°=3×180°=540°S = (5 – 2) \times 180° = 3 \times 180° = 540°
Como el pentágono es regular, todos sus ángulos interiores son iguales, así que dividimos la suma total por 5:
540°5=108°\frac{540°}{5} = 108°
Cada ángulo interior mide 108°.
6. Conclusiones
El estudio de los ángulos en geometría plana es esencial para comprender las relaciones entre las figuras geométricas. A través de ejercicios y demostraciones, hemos explorado cómo los ángulos se comportan entre líneas paralelas, cómo se clasifican y cómo se relacionan con las líneas notables. Este conocimiento es clave para resolver problemas geométricos más avanzados.
Encuentre el valor funcional
A=(8x-4y+2)+(3x+2y-5) cuando x=0 y=1 B=(3a+7b-9)+(5a+9b+21) cuando x=25 y=36 D=\frac{(x+y)^3 +(x-y)^2(x+y+z)+(x-y+z)^2 }{(2x+3y+z)^2}Realizar las siguientes operaciones
-5+6+2-4 3a-8a+2a+6a-5a 7x-2x+6x-10x+4x-5x-x x+x^2+x^3+1-2x^2-5x-3+2x^3+6x^2-2x y^4-y^2+6-3y^4+2y^2-8+y^4-3y^2 -4+3x^2y^2z^2+5+2x^2y^2z^2-6-8x^2y^2z^2+6x^2y^2z^2 5x^{-2}y+3xy^{-2}-2x^{-2}y+3x^{-2}y+4xy^{-2} \frac{2}{3} xy-\frac{1}{6}xy+\frac{1}{2}x^2y^2-\frac{3}{4}xy+2x^2y^2 4x^ny^m+2x^ny^m-5x^2y^m-3x^ny^m+6x^2y^m (a-2b+3c+d)+(-a+2b+c-2d)+(3a+b+c+d)(8a^5b^2-12a^4b^4+6a^2b^4)+(-6a^5b^2+7a^4b^4-2a63b^3)+(3a^5b^2-6a^4b^4-3a^2b^4+7a^3b^3<span style="font-size: 16px;">
De a-b restar c-d
De 3x^-5x+4 restar x^2+2x+1
De 2x^2-3x+1 restar x^3-x^2+3x-8
Restar x^4+x^2+2 de x^3-2x^2-5x+6
Restar 2x^{n+2}-5x^{n+1}+3x^n+x^{n-1} de 3x^{n+2}-2x^{n+1}-6x^n +2x^{n-1}
(x^2-5x+1)+(3x-1) (x+y+z)-(x-y-z)+(-x+y-z)-(x-y+z) x^3-(x^3+y^3-z^3)+y^3+(x^3-y^3+z^3)-z^3 a-{2b-[a-(3b-c+2c-(a-b-c))]} 3xy^2-(3x^2y-y^3)+[y^3+(3x^2y-3xy^2+y^3)-x^3]4-x-[-x-[x-(x-(1-x))]] x+(a-[a-2-{2a+1}+3]-a) 8x-(2y-4x)-[3y-()2y-x]-[2y+(4x-3y)] (-3x)(x^2-5x+6) (-\frac{1}{2} xyz)(x^2+y^2+z^2-2xy-2xy-2xz+2yz)x^n(x^3-2x^2+5x+6) (x+8)(x+5) (x-5)(2x-3) (x-4)(x-3) (x-2y+z)(x+y-2z) (a^2+b^2+ab)(a^2+b^2-ab) (x^4+y^4-x^2y^2)(x^2+y^2) (x+y)(x^3-x^2y+xy^2-y^3)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)(x+y) (6x^4-3x^2y^2-11xy^3-4y^4)(x^3-2x^2y+xy^2-y^3) -\frac{15x^3y^2}{5xy} \frac{34m^4n^3p}{14mnpq} \frac{2x^2-5x+6}{x-3} \frac{x^4-2x^3-20x^2+x+6}{x+4} \frac{3x^4-25x^2-5x+8}{x+3} \frac{2x^4+5x^3y-3xy^3+y^4}{x^2+2xy-3y^2} \frac{a^6-b^6}{a^2-ab+b^2}❎ Geometría ÁNGULOS Ejercicios Resueltos Problemas Ángulos Calvache Paralela Cortada por una Secante
1. Definición de Ángulo y Sistema de Medición
Concepto de Ángulo
En geometría, un ángulo es la apertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto, llamado vértice. La magnitud del ángulo mide la rotación necesaria para alinear una semirrecta con la otra, y se expresa en unidades específicas.
Sistema Sexagesimal
El sistema sexagesimal es el más común para medir ángulos. En este sistema:
- Un círculo completo tiene 360 grados (°).
- Cada grado se divide en 60 minutos (‘).
- Cada minuto se divide en 60 segundos («).
Sistema Centesimal
El sistema centesimal divide el círculo en 400 grados centesimales (g):
- Cada grado se divide en 100 minutos (m).
- Cada minuto se divide en 100 segundos (s).
Ambos sistemas se usan según el contexto, siendo el sexagesimal el más habitual en geometría elemental.
2. Clasificación de los Ángulos
Ángulos Según su Magnitud
- Ángulo Agudo: Mide menos de 90°.
- Ángulo Recto: Mide exactamente 90°.
- Ángulo Obtuso: Mide entre 90° y 180°.
- Ángulo Llano: Mide exactamente 180°.
- Ángulo Cóncavo: Mide entre 180° y 360°.
- Ángulo Completo: Mide 360°, cerrando un círculo completo.
Ángulos Consecutivos y Adyacentes
- Ángulos Consecutivos: Comparten un vértice y un lado, pero no tienen lados superpuestos.
- Ángulos Adyacentes: Son consecutivos y sus lados no comunes forman una línea recta, sumando 180°.
3. Ángulos entre Líneas Paralelas y Transversales
Cuando dos líneas paralelas son cortadas por una transversal, se forman varios ángulos que tienen propiedades especiales.
Ángulos Alternos Internos y Externos
- Ángulos Alternos Internos: Están en el interior de las paralelas y a lados opuestos de la transversal. Son congruentes.
- Ángulos Alternos Externos: Se encuentran fuera de las líneas paralelas, en lados opuestos de la transversal, y también son congruentes.
Ángulos Correspondientes
Estos ángulos están en el mismo lado de la transversal y en la misma posición relativa respecto a las paralelas. Son siempre congruentes.
Ángulos Opuestos por el Vértice
Cuando dos líneas se cruzan, se forman cuatro ángulos. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, lo que significa que tienen la misma medida.
4. Líneas Notables en Geometría y su Relación con los Ángulos
En geometría, ciertas líneas dentro de figuras geométricas son especialmente importantes, ya que dividen ángulos o segmentos de manera equitativa o particular. Entre las más destacadas están:
1. Bisectriz de un Ángulo
La bisectriz es una línea que divide un ángulo en dos partes iguales. En los triángulos, la bisectriz juega un rol fundamental para hallar puntos equidistantes a los lados del ángulo.
2. Mediatriz de un Segmento
La mediatriz es una línea perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio. Todos los puntos en la mediatriz son equidistantes de los extremos del segmento.
3. Altura
La altura es una línea perpendicular desde un vértice de un triángulo hasta el lado opuesto o su prolongación. Es clave para calcular áreas y resolver diversos problemas geométricos.
5. Ejercicios Resueltos de Ángulos
Ejercicio 1: Cálculo de Ángulos en Paralelas Cortadas por una Transversal
Enunciado:
Dos líneas paralelas son cortadas por una transversal. Uno de los ángulos alternos internos mide 65°. ¿Cuánto mide el otro ángulo alterno interno?
Solución:
Los ángulos alternos internos son congruentes. Si un ángulo mide 65°, el otro ángulo alterno interno también mide 65°.
Ejercicio 2: Suma de Ángulos Interiores en un Triángulo
Enunciado:
En un triángulo, los ángulos interiores miden 40°, 70° y un ángulo desconocido. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo?
Solución:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es 180°. Entonces:
40°+70°+x=180°40° + 70° + x = 180° x=180°−110°=70°x = 180° – 110° = 70°
El tercer ángulo mide 70°.
Ejercicio 3: Ángulos en Polígonos Regulares
Enunciado:
Encuentra la medida de cada ángulo interior en un pentágono regular.
Solución:
La fórmula para hallar la suma de los ángulos interiores de un polígono de nn lados es:
S=(n−2)×180°S = (n – 2) \times 180°
Para un pentágono (n=5n = 5):
S=(5−2)×180°=3×180°=540°S = (5 – 2) \times 180° = 3 \times 180° = 540°
Como el pentágono es regular, todos sus ángulos interiores son iguales, así que dividimos la suma total por 5:
540°5=108°\frac{540°}{5} = 108°
Cada ángulo interior mide 108°.
6. Conclusiones
El estudio de los ángulos en geometría plana es esencial para comprender las relaciones entre las figuras geométricas. A través de ejercicios y demostraciones, hemos explorado cómo los ángulos se comportan entre líneas paralelas, cómo se clasifican y cómo se relacionan con las líneas notables. Este conocimiento es clave para resolver problemas geométricos más avanzados.
Encuentre el valor funcional
A=(8x-4y+2)+(3x+2y-5) cuando x=0 y=1 B=(3a+7b-9)+(5a+9b+21) cuando x=25 y=36 D=\frac{(x+y)^3 +(x-y)^2(x+y+z)+(x-y+z)^2 }{(2x+3y+z)^2}Realizar las siguientes operaciones
-5+6+2-4 3a-8a+2a+6a-5a 7x-2x+6x-10x+4x-5x-x x+x^2+x^3+1-2x^2-5x-3+2x^3+6x^2-2x y^4-y^2+6-3y^4+2y^2-8+y^4-3y^2 -4+3x^2y^2z^2+5+2x^2y^2z^2-6-8x^2y^2z^2+6x^2y^2z^2 5x^{-2}y+3xy^{-2}-2x^{-2}y+3x^{-2}y+4xy^{-2} \frac{2}{3} xy-\frac{1}{6}xy+\frac{1}{2}x^2y^2-\frac{3}{4}xy+2x^2y^2 4x^ny^m+2x^ny^m-5x^2y^m-3x^ny^m+6x^2y^m (a-2b+3c+d)+(-a+2b+c-2d)+(3a+b+c+d)(8a^5b^2-12a^4b^4+6a^2b^4)+(-6a^5b^2+7a^4b^4-2a63b^3)+(3a^5b^2-6a^4b^4-3a^2b^4+7a^3b^3<span style="font-size: 16px;">
De a-b restar c-d
De 3x^-5x+4 restar x^2+2x+1
De 2x^2-3x+1 restar x^3-x^2+3x-8
Restar x^4+x^2+2 de x^3-2x^2-5x+6
Restar 2x^{n+2}-5x^{n+1}+3x^n+x^{n-1} de 3x^{n+2}-2x^{n+1}-6x^n +2x^{n-1}
(x^2-5x+1)+(3x-1) (x+y+z)-(x-y-z)+(-x+y-z)-(x-y+z) x^3-(x^3+y^3-z^3)+y^3+(x^3-y^3+z^3)-z^3 a-{2b-[a-(3b-c+2c-(a-b-c))]} 3xy^2-(3x^2y-y^3)+[y^3+(3x^2y-3xy^2+y^3)-x^3]4-x-[-x-[x-(x-(1-x))]] x+(a-[a-2-{2a+1}+3]-a) 8x-(2y-4x)-[3y-()2y-x]-[2y+(4x-3y)] (-3x)(x^2-5x+6) (-\frac{1}{2} xyz)(x^2+y^2+z^2-2xy-2xy-2xz+2yz)x^n(x^3-2x^2+5x+6) (x+8)(x+5) (x-5)(2x-3) (x-4)(x-3) (x-2y+z)(x+y-2z) (a^2+b^2+ab)(a^2+b^2-ab) (x^4+y^4-x^2y^2)(x^2+y^2) (x+y)(x^3-x^2y+xy^2-y^3)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)(x+y) (6x^4-3x^2y^2-11xy^3-4y^4)(x^3-2x^2y+xy^2-y^3) -\frac{15x^3y^2}{5xy} \frac{34m^4n^3p}{14mnpq} \frac{2x^2-5x+6}{x-3} \frac{x^4-2x^3-20x^2+x+6}{x+4} \frac{3x^4-25x^2-5x+8}{x+3} \frac{2x^4+5x^3y-3xy^3+y^4}{x^2+2xy-3y^2} \frac{a^6-b^6}{a^2-ab+b^2}🥇Domina ÁNGULOS Geometría Plana Ejercicios Resueltos Calvache Paralelas Cortadas por Transversales🟢
1. Definición de Ángulo y Sistema de Medición
Concepto de Ángulo
En geometría, un ángulo es la apertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto, llamado vértice. La magnitud del ángulo mide la rotación necesaria para alinear una semirrecta con la otra, y se expresa en unidades específicas.
Sistema Sexagesimal
El sistema sexagesimal es el más común para medir ángulos. En este sistema:
- Un círculo completo tiene 360 grados (°).
- Cada grado se divide en 60 minutos (‘).
- Cada minuto se divide en 60 segundos («).
Sistema Centesimal
El sistema centesimal divide el círculo en 400 grados centesimales (g):
- Cada grado se divide en 100 minutos (m).
- Cada minuto se divide en 100 segundos (s).
Ambos sistemas se usan según el contexto, siendo el sexagesimal el más habitual en geometría elemental.
2. Clasificación de los Ángulos
Ángulos Según su Magnitud
- Ángulo Agudo: Mide menos de 90°.
- Ángulo Recto: Mide exactamente 90°.
- Ángulo Obtuso: Mide entre 90° y 180°.
- Ángulo Llano: Mide exactamente 180°.
- Ángulo Cóncavo: Mide entre 180° y 360°.
- Ángulo Completo: Mide 360°, cerrando un círculo completo.
Ángulos Consecutivos y Adyacentes
- Ángulos Consecutivos: Comparten un vértice y un lado, pero no tienen lados superpuestos.
- Ángulos Adyacentes: Son consecutivos y sus lados no comunes forman una línea recta, sumando 180°.
3. Ángulos entre Líneas Paralelas y Transversales
Cuando dos líneas paralelas son cortadas por una transversal, se forman varios ángulos que tienen propiedades especiales.
Ángulos Alternos Internos y Externos
- Ángulos Alternos Internos: Están en el interior de las paralelas y a lados opuestos de la transversal. Son congruentes.
- Ángulos Alternos Externos: Se encuentran fuera de las líneas paralelas, en lados opuestos de la transversal, y también son congruentes.
Ángulos Correspondientes
Estos ángulos están en el mismo lado de la transversal y en la misma posición relativa respecto a las paralelas. Son siempre congruentes.
Ángulos Opuestos por el Vértice
Cuando dos líneas se cruzan, se forman cuatro ángulos. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, lo que significa que tienen la misma medida.
4. Líneas Notables en Geometría y su Relación con los Ángulos
En geometría, ciertas líneas dentro de figuras geométricas son especialmente importantes, ya que dividen ángulos o segmentos de manera equitativa o particular. Entre las más destacadas están:
1. Bisectriz de un Ángulo
La bisectriz es una línea que divide un ángulo en dos partes iguales. En los triángulos, la bisectriz juega un rol fundamental para hallar puntos equidistantes a los lados del ángulo.
2. Mediatriz de un Segmento
La mediatriz es una línea perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio. Todos los puntos en la mediatriz son equidistantes de los extremos del segmento.
3. Altura
La altura es una línea perpendicular desde un vértice de un triángulo hasta el lado opuesto o su prolongación. Es clave para calcular áreas y resolver diversos problemas geométricos.
5. Ejercicios Resueltos de Ángulos
Ejercicio 1: Cálculo de Ángulos en Paralelas Cortadas por una Transversal
Enunciado:
Dos líneas paralelas son cortadas por una transversal. Uno de los ángulos alternos internos mide 65°. ¿Cuánto mide el otro ángulo alterno interno?
Solución:
Los ángulos alternos internos son congruentes. Si un ángulo mide 65°, el otro ángulo alterno interno también mide 65°.
Ejercicio 2: Suma de Ángulos Interiores en un Triángulo
Enunciado:
En un triángulo, los ángulos interiores miden 40°, 70° y un ángulo desconocido. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo?
Solución:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es 180°. Entonces:
40°+70°+x=180°40° + 70° + x = 180° x=180°−110°=70°x = 180° – 110° = 70°
El tercer ángulo mide 70°.
Ejercicio 3: Ángulos en Polígonos Regulares
Enunciado:
Encuentra la medida de cada ángulo interior en un pentágono regular.
Solución:
La fórmula para hallar la suma de los ángulos interiores de un polígono de nn lados es:
S=(n−2)×180°S = (n – 2) \times 180°
Para un pentágono (n=5n = 5):
S=(5−2)×180°=3×180°=540°S = (5 – 2) \times 180° = 3 \times 180° = 540°
Como el pentágono es regular, todos sus ángulos interiores son iguales, así que dividimos la suma total por 5:
540°5=108°\frac{540°}{5} = 108°
Cada ángulo interior mide 108°.
6. Conclusiones
El estudio de los ángulos en geometría plana es esencial para comprender las relaciones entre las figuras geométricas. A través de ejercicios y demostraciones, hemos explorado cómo los ángulos se comportan entre líneas paralelas, cómo se clasifican y cómo se relacionan con las líneas notables. Este conocimiento es clave para resolver problemas geométricos más avanzados.
Encuentre el valor funcional
A=(8x-4y+2)+(3x+2y-5) cuando x=0 y=1 B=(3a+7b-9)+(5a+9b+21) cuando x=25 y=36 D=\frac{(x+y)^3 +(x-y)^2(x+y+z)+(x-y+z)^2 }{(2x+3y+z)^2}Realizar las siguientes operaciones
-5+6+2-4 3a-8a+2a+6a-5a 7x-2x+6x-10x+4x-5x-x x+x^2+x^3+1-2x^2-5x-3+2x^3+6x^2-2x y^4-y^2+6-3y^4+2y^2-8+y^4-3y^2 -4+3x^2y^2z^2+5+2x^2y^2z^2-6-8x^2y^2z^2+6x^2y^2z^2 5x^{-2}y+3xy^{-2}-2x^{-2}y+3x^{-2}y+4xy^{-2} \frac{2}{3} xy-\frac{1}{6}xy+\frac{1}{2}x^2y^2-\frac{3}{4}xy+2x^2y^2 4x^ny^m+2x^ny^m-5x^2y^m-3x^ny^m+6x^2y^m (a-2b+3c+d)+(-a+2b+c-2d)+(3a+b+c+d)(8a^5b^2-12a^4b^4+6a^2b^4)+(-6a^5b^2+7a^4b^4-2a63b^3)+(3a^5b^2-6a^4b^4-3a^2b^4+7a^3b^3<span style="font-size: 16px;">
De a-b restar c-d
De 3x^-5x+4 restar x^2+2x+1
De 2x^2-3x+1 restar x^3-x^2+3x-8
Restar x^4+x^2+2 de x^3-2x^2-5x+6
Restar 2x^{n+2}-5x^{n+1}+3x^n+x^{n-1} de 3x^{n+2}-2x^{n+1}-6x^n +2x^{n-1}
(x^2-5x+1)+(3x-1) (x+y+z)-(x-y-z)+(-x+y-z)-(x-y+z) x^3-(x^3+y^3-z^3)+y^3+(x^3-y^3+z^3)-z^3 a-{2b-[a-(3b-c+2c-(a-b-c))]} 3xy^2-(3x^2y-y^3)+[y^3+(3x^2y-3xy^2+y^3)-x^3]4-x-[-x-[x-(x-(1-x))]] x+(a-[a-2-{2a+1}+3]-a) 8x-(2y-4x)-[3y-()2y-x]-[2y+(4x-3y)] (-3x)(x^2-5x+6) (-\frac{1}{2} xyz)(x^2+y^2+z^2-2xy-2xy-2xz+2yz)x^n(x^3-2x^2+5x+6) (x+8)(x+5) (x-5)(2x-3) (x-4)(x-3) (x-2y+z)(x+y-2z) (a^2+b^2+ab)(a^2+b^2-ab) (x^4+y^4-x^2y^2)(x^2+y^2) (x+y)(x^3-x^2y+xy^2-y^3)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)(x+y) (6x^4-3x^2y^2-11xy^3-4y^4)(x^3-2x^2y+xy^2-y^3) -\frac{15x^3y^2}{5xy} \frac{34m^4n^3p}{14mnpq} \frac{2x^2-5x+6}{x-3} \frac{x^4-2x^3-20x^2+x+6}{x+4} \frac{3x^4-25x^2-5x+8}{x+3} \frac{2x^4+5x^3y-3xy^3+y^4}{x^2+2xy-3y^2} \frac{a^6-b^6}{a^2-ab+b^2}📗 Ángulos Geometría Plana Ejercicios Resueltos Paralelas Cortadas por una Secante Problemas Calvache
1. Definición de Ángulo y Sistema de Medición
Concepto de Ángulo
En geometría, un ángulo es la apertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto, llamado vértice. La magnitud del ángulo mide la rotación necesaria para alinear una semirrecta con la otra, y se expresa en unidades específicas.
Sistema Sexagesimal
El sistema sexagesimal es el más común para medir ángulos. En este sistema:
- Un círculo completo tiene 360 grados (°).
- Cada grado se divide en 60 minutos (‘).
- Cada minuto se divide en 60 segundos («).
Sistema Centesimal
El sistema centesimal divide el círculo en 400 grados centesimales (g):
- Cada grado se divide en 100 minutos (m).
- Cada minuto se divide en 100 segundos (s).
Ambos sistemas se usan según el contexto, siendo el sexagesimal el más habitual en geometría elemental.
2. Clasificación de los Ángulos
Ángulos Según su Magnitud
- Ángulo Agudo: Mide menos de 90°.
- Ángulo Recto: Mide exactamente 90°.
- Ángulo Obtuso: Mide entre 90° y 180°.
- Ángulo Llano: Mide exactamente 180°.
- Ángulo Cóncavo: Mide entre 180° y 360°.
- Ángulo Completo: Mide 360°, cerrando un círculo completo.
Ángulos Consecutivos y Adyacentes
- Ángulos Consecutivos: Comparten un vértice y un lado, pero no tienen lados superpuestos.
- Ángulos Adyacentes: Son consecutivos y sus lados no comunes forman una línea recta, sumando 180°.
3. Ángulos entre Líneas Paralelas y Transversales
Cuando dos líneas paralelas son cortadas por una transversal, se forman varios ángulos que tienen propiedades especiales.
Ángulos Alternos Internos y Externos
- Ángulos Alternos Internos: Están en el interior de las paralelas y a lados opuestos de la transversal. Son congruentes.
- Ángulos Alternos Externos: Se encuentran fuera de las líneas paralelas, en lados opuestos de la transversal, y también son congruentes.
Ángulos Correspondientes
Estos ángulos están en el mismo lado de la transversal y en la misma posición relativa respecto a las paralelas. Son siempre congruentes.
Ángulos Opuestos por el Vértice
Cuando dos líneas se cruzan, se forman cuatro ángulos. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, lo que significa que tienen la misma medida.
4. Líneas Notables en Geometría y su Relación con los Ángulos
En geometría, ciertas líneas dentro de figuras geométricas son especialmente importantes, ya que dividen ángulos o segmentos de manera equitativa o particular. Entre las más destacadas están:
1. Bisectriz de un Ángulo
La bisectriz es una línea que divide un ángulo en dos partes iguales. En los triángulos, la bisectriz juega un rol fundamental para hallar puntos equidistantes a los lados del ángulo.
2. Mediatriz de un Segmento
La mediatriz es una línea perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio. Todos los puntos en la mediatriz son equidistantes de los extremos del segmento.
3. Altura
La altura es una línea perpendicular desde un vértice de un triángulo hasta el lado opuesto o su prolongación. Es clave para calcular áreas y resolver diversos problemas geométricos.
5. Ejercicios Resueltos de Ángulos
Ejercicio 1: Cálculo de Ángulos en Paralelas Cortadas por una Transversal
Enunciado:
Dos líneas paralelas son cortadas por una transversal. Uno de los ángulos alternos internos mide 65°. ¿Cuánto mide el otro ángulo alterno interno?
Solución:
Los ángulos alternos internos son congruentes. Si un ángulo mide 65°, el otro ángulo alterno interno también mide 65°.
Ejercicio 2: Suma de Ángulos Interiores en un Triángulo
Enunciado:
En un triángulo, los ángulos interiores miden 40°, 70° y un ángulo desconocido. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo?
Solución:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es 180°. Entonces:
40°+70°+x=180°40° + 70° + x = 180° x=180°−110°=70°x = 180° – 110° = 70°
El tercer ángulo mide 70°.
Ejercicio 3: Ángulos en Polígonos Regulares
Enunciado:
Encuentra la medida de cada ángulo interior en un pentágono regular.
Solución:
La fórmula para hallar la suma de los ángulos interiores de un polígono de nn lados es:
S=(n−2)×180°S = (n – 2) \times 180°
Para un pentágono (n=5n = 5):
S=(5−2)×180°=3×180°=540°S = (5 – 2) \times 180° = 3 \times 180° = 540°
Como el pentágono es regular, todos sus ángulos interiores son iguales, así que dividimos la suma total por 5:
540°5=108°\frac{540°}{5} = 108°
Cada ángulo interior mide 108°.
6. Conclusiones
El estudio de los ángulos en geometría plana es esencial para comprender las relaciones entre las figuras geométricas. A través de ejercicios y demostraciones, hemos explorado cómo los ángulos se comportan entre líneas paralelas, cómo se clasifican y cómo se relacionan con las líneas notables. Este conocimiento es clave para resolver problemas geométricos más avanzados.
Encuentre el valor funcional
A=(8x-4y+2)+(3x+2y-5) cuando x=0 y=1 B=(3a+7b-9)+(5a+9b+21) cuando x=25 y=36 D=\frac{(x+y)^3 +(x-y)^2(x+y+z)+(x-y+z)^2 }{(2x+3y+z)^2}Realizar las siguientes operaciones
-5+6+2-4 3a-8a+2a+6a-5a 7x-2x+6x-10x+4x-5x-x x+x^2+x^3+1-2x^2-5x-3+2x^3+6x^2-2x y^4-y^2+6-3y^4+2y^2-8+y^4-3y^2 -4+3x^2y^2z^2+5+2x^2y^2z^2-6-8x^2y^2z^2+6x^2y^2z^2 5x^{-2}y+3xy^{-2}-2x^{-2}y+3x^{-2}y+4xy^{-2} \frac{2}{3} xy-\frac{1}{6}xy+\frac{1}{2}x^2y^2-\frac{3}{4}xy+2x^2y^2 4x^ny^m+2x^ny^m-5x^2y^m-3x^ny^m+6x^2y^m (a-2b+3c+d)+(-a+2b+c-2d)+(3a+b+c+d)(8a^5b^2-12a^4b^4+6a^2b^4)+(-6a^5b^2+7a^4b^4-2a63b^3)+(3a^5b^2-6a^4b^4-3a^2b^4+7a^3b^3<span style="font-size: 16px;">
De a-b restar c-d
De 3x^-5x+4 restar x^2+2x+1
De 2x^2-3x+1 restar x^3-x^2+3x-8
Restar x^4+x^2+2 de x^3-2x^2-5x+6
Restar 2x^{n+2}-5x^{n+1}+3x^n+x^{n-1} de 3x^{n+2}-2x^{n+1}-6x^n +2x^{n-1}
(x^2-5x+1)+(3x-1) (x+y+z)-(x-y-z)+(-x+y-z)-(x-y+z) x^3-(x^3+y^3-z^3)+y^3+(x^3-y^3+z^3)-z^3 a-{2b-[a-(3b-c+2c-(a-b-c))]} 3xy^2-(3x^2y-y^3)+[y^3+(3x^2y-3xy^2+y^3)-x^3]4-x-[-x-[x-(x-(1-x))]] x+(a-[a-2-{2a+1}+3]-a) 8x-(2y-4x)-[3y-()2y-x]-[2y+(4x-3y)] (-3x)(x^2-5x+6) (-\frac{1}{2} xyz)(x^2+y^2+z^2-2xy-2xy-2xz+2yz)x^n(x^3-2x^2+5x+6) (x+8)(x+5) (x-5)(2x-3) (x-4)(x-3) (x-2y+z)(x+y-2z) (a^2+b^2+ab)(a^2+b^2-ab) (x^4+y^4-x^2y^2)(x^2+y^2) (x+y)(x^3-x^2y+xy^2-y^3)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)(x+y) (6x^4-3x^2y^2-11xy^3-4y^4)(x^3-2x^2y+xy^2-y^3) -\frac{15x^3y^2}{5xy} \frac{34m^4n^3p}{14mnpq} \frac{2x^2-5x+6}{x-3} \frac{x^4-2x^3-20x^2+x+6}{x+4} \frac{3x^4-25x^2-5x+8}{x+3} \frac{2x^4+5x^3y-3xy^3+y^4}{x^2+2xy-3y^2} \frac{a^6-b^6}{a^2-ab+b^2}🥇 Resolviendo Problemas Ángulos Ejercicios Resueltos Ángulos, Bisectrices Ángulos entre Paralelas 🟢
1. Definición de Ángulo y Sistema de Medición
Concepto de Ángulo
En geometría, un ángulo es la apertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto, llamado vértice. La magnitud del ángulo mide la rotación necesaria para alinear una semirrecta con la otra, y se expresa en unidades específicas.
Sistema Sexagesimal
El sistema sexagesimal es el más común para medir ángulos. En este sistema:
- Un círculo completo tiene 360 grados (°).
- Cada grado se divide en 60 minutos (‘).
- Cada minuto se divide en 60 segundos («).
Sistema Centesimal
El sistema centesimal divide el círculo en 400 grados centesimales (g):
- Cada grado se divide en 100 minutos (m).
- Cada minuto se divide en 100 segundos (s).
Ambos sistemas se usan según el contexto, siendo el sexagesimal el más habitual en geometría elemental.
2. Clasificación de los Ángulos
Ángulos Según su Magnitud
- Ángulo Agudo: Mide menos de 90°.
- Ángulo Recto: Mide exactamente 90°.
- Ángulo Obtuso: Mide entre 90° y 180°.
- Ángulo Llano: Mide exactamente 180°.
- Ángulo Cóncavo: Mide entre 180° y 360°.
- Ángulo Completo: Mide 360°, cerrando un círculo completo.
Ángulos Consecutivos y Adyacentes
- Ángulos Consecutivos: Comparten un vértice y un lado, pero no tienen lados superpuestos.
- Ángulos Adyacentes: Son consecutivos y sus lados no comunes forman una línea recta, sumando 180°.
3. Ángulos entre Líneas Paralelas y Transversales
Cuando dos líneas paralelas son cortadas por una transversal, se forman varios ángulos que tienen propiedades especiales.
Ángulos Alternos Internos y Externos
- Ángulos Alternos Internos: Están en el interior de las paralelas y a lados opuestos de la transversal. Son congruentes.
- Ángulos Alternos Externos: Se encuentran fuera de las líneas paralelas, en lados opuestos de la transversal, y también son congruentes.
Ángulos Correspondientes
Estos ángulos están en el mismo lado de la transversal y en la misma posición relativa respecto a las paralelas. Son siempre congruentes.
Ángulos Opuestos por el Vértice
Cuando dos líneas se cruzan, se forman cuatro ángulos. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, lo que significa que tienen la misma medida.
4. Líneas Notables en Geometría y su Relación con los Ángulos
En geometría, ciertas líneas dentro de figuras geométricas son especialmente importantes, ya que dividen ángulos o segmentos de manera equitativa o particular. Entre las más destacadas están:
1. Bisectriz de un Ángulo
La bisectriz es una línea que divide un ángulo en dos partes iguales. En los triángulos, la bisectriz juega un rol fundamental para hallar puntos equidistantes a los lados del ángulo.
2. Mediatriz de un Segmento
La mediatriz es una línea perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio. Todos los puntos en la mediatriz son equidistantes de los extremos del segmento.
3. Altura
La altura es una línea perpendicular desde un vértice de un triángulo hasta el lado opuesto o su prolongación. Es clave para calcular áreas y resolver diversos problemas geométricos.
5. Ejercicios Resueltos de Ángulos
Ejercicio 1: Cálculo de Ángulos en Paralelas Cortadas por una Transversal
Enunciado:
Dos líneas paralelas son cortadas por una transversal. Uno de los ángulos alternos internos mide 65°. ¿Cuánto mide el otro ángulo alterno interno?
Solución:
Los ángulos alternos internos son congruentes. Si un ángulo mide 65°, el otro ángulo alterno interno también mide 65°.
Ejercicio 2: Suma de Ángulos Interiores en un Triángulo
Enunciado:
En un triángulo, los ángulos interiores miden 40°, 70° y un ángulo desconocido. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo?
Solución:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es 180°. Entonces:
40°+70°+x=180°40° + 70° + x = 180° x=180°−110°=70°x = 180° – 110° = 70°
El tercer ángulo mide 70°.
Ejercicio 3: Ángulos en Polígonos Regulares
Enunciado:
Encuentra la medida de cada ángulo interior en un pentágono regular.
Solución:
La fórmula para hallar la suma de los ángulos interiores de un polígono de nn lados es:
S=(n−2)×180°S = (n – 2) \times 180°
Para un pentágono (n=5n = 5):
S=(5−2)×180°=3×180°=540°S = (5 – 2) \times 180° = 3 \times 180° = 540°
Como el pentágono es regular, todos sus ángulos interiores son iguales, así que dividimos la suma total por 5:
540°5=108°\frac{540°}{5} = 108°
Cada ángulo interior mide 108°.
6. Conclusiones
El estudio de los ángulos en geometría plana es esencial para comprender las relaciones entre las figuras geométricas. A través de ejercicios y demostraciones, hemos explorado cómo los ángulos se comportan entre líneas paralelas, cómo se clasifican y cómo se relacionan con las líneas notables. Este conocimiento es clave para resolver problemas geométricos más avanzados.
Encuentre el valor funcional
A=(8x-4y+2)+(3x+2y-5) cuando x=0 y=1 B=(3a+7b-9)+(5a+9b+21) cuando x=25 y=36 D=\frac{(x+y)^3 +(x-y)^2(x+y+z)+(x-y+z)^2 }{(2x+3y+z)^2}Realizar las siguientes operaciones
-5+6+2-4 3a-8a+2a+6a-5a 7x-2x+6x-10x+4x-5x-x x+x^2+x^3+1-2x^2-5x-3+2x^3+6x^2-2x y^4-y^2+6-3y^4+2y^2-8+y^4-3y^2 -4+3x^2y^2z^2+5+2x^2y^2z^2-6-8x^2y^2z^2+6x^2y^2z^2 5x^{-2}y+3xy^{-2}-2x^{-2}y+3x^{-2}y+4xy^{-2} \frac{2}{3} xy-\frac{1}{6}xy+\frac{1}{2}x^2y^2-\frac{3}{4}xy+2x^2y^2 4x^ny^m+2x^ny^m-5x^2y^m-3x^ny^m+6x^2y^m (a-2b+3c+d)+(-a+2b+c-2d)+(3a+b+c+d)(8a^5b^2-12a^4b^4+6a^2b^4)+(-6a^5b^2+7a^4b^4-2a63b^3)+(3a^5b^2-6a^4b^4-3a^2b^4+7a^3b^3<span style="font-size: 16px;">
De a-b restar c-d
De 3x^-5x+4 restar x^2+2x+1
De 2x^2-3x+1 restar x^3-x^2+3x-8
Restar x^4+x^2+2 de x^3-2x^2-5x+6
Restar 2x^{n+2}-5x^{n+1}+3x^n+x^{n-1} de 3x^{n+2}-2x^{n+1}-6x^n +2x^{n-1}
(x^2-5x+1)+(3x-1) (x+y+z)-(x-y-z)+(-x+y-z)-(x-y+z) x^3-(x^3+y^3-z^3)+y^3+(x^3-y^3+z^3)-z^3 a-{2b-[a-(3b-c+2c-(a-b-c))]} 3xy^2-(3x^2y-y^3)+[y^3+(3x^2y-3xy^2+y^3)-x^3]4-x-[-x-[x-(x-(1-x))]] x+(a-[a-2-{2a+1}+3]-a) 8x-(2y-4x)-[3y-()2y-x]-[2y+(4x-3y)] (-3x)(x^2-5x+6) (-\frac{1}{2} xyz)(x^2+y^2+z^2-2xy-2xy-2xz+2yz)x^n(x^3-2x^2+5x+6) (x+8)(x+5) (x-5)(2x-3) (x-4)(x-3) (x-2y+z)(x+y-2z) (a^2+b^2+ab)(a^2+b^2-ab) (x^4+y^4-x^2y^2)(x^2+y^2) (x+y)(x^3-x^2y+xy^2-y^3)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)(x+y) (6x^4-3x^2y^2-11xy^3-4y^4)(x^3-2x^2y+xy^2-y^3) -\frac{15x^3y^2}{5xy} \frac{34m^4n^3p}{14mnpq} \frac{2x^2-5x+6}{x-3} \frac{x^4-2x^3-20x^2+x+6}{x+4} \frac{3x^4-25x^2-5x+8}{x+3} \frac{2x^4+5x^3y-3xy^3+y^4}{x^2+2xy-3y^2} \frac{a^6-b^6}{a^2-ab+b^2}🟢Descifrando las Propiedades de los ÁNGULOS: Ejercicios Resueltos en Geometría Plana Calvache 🟩
1. Definición de Ángulo y Sistema de Medición
Concepto de Ángulo
En geometría, un ángulo es la apertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto, llamado vértice. La magnitud del ángulo mide la rotación necesaria para alinear una semirrecta con la otra, y se expresa en unidades específicas.
Sistema Sexagesimal
El sistema sexagesimal es el más común para medir ángulos. En este sistema:
- Un círculo completo tiene 360 grados (°).
- Cada grado se divide en 60 minutos (‘).
- Cada minuto se divide en 60 segundos («).
Sistema Centesimal
El sistema centesimal divide el círculo en 400 grados centesimales (g):
- Cada grado se divide en 100 minutos (m).
- Cada minuto se divide en 100 segundos (s).
Ambos sistemas se usan según el contexto, siendo el sexagesimal el más habitual en geometría elemental.
2. Clasificación de los Ángulos
Ángulos Según su Magnitud
- Ángulo Agudo: Mide menos de 90°.
- Ángulo Recto: Mide exactamente 90°.
- Ángulo Obtuso: Mide entre 90° y 180°.
- Ángulo Llano: Mide exactamente 180°.
- Ángulo Cóncavo: Mide entre 180° y 360°.
- Ángulo Completo: Mide 360°, cerrando un círculo completo.
Ángulos Consecutivos y Adyacentes
- Ángulos Consecutivos: Comparten un vértice y un lado, pero no tienen lados superpuestos.
- Ángulos Adyacentes: Son consecutivos y sus lados no comunes forman una línea recta, sumando 180°.
3. Ángulos entre Líneas Paralelas y Transversales
Cuando dos líneas paralelas son cortadas por una transversal, se forman varios ángulos que tienen propiedades especiales.
Ángulos Alternos Internos y Externos
- Ángulos Alternos Internos: Están en el interior de las paralelas y a lados opuestos de la transversal. Son congruentes.
- Ángulos Alternos Externos: Se encuentran fuera de las líneas paralelas, en lados opuestos de la transversal, y también son congruentes.
Ángulos Correspondientes
Estos ángulos están en el mismo lado de la transversal y en la misma posición relativa respecto a las paralelas. Son siempre congruentes.
Ángulos Opuestos por el Vértice
Cuando dos líneas se cruzan, se forman cuatro ángulos. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, lo que significa que tienen la misma medida.
4. Líneas Notables en Geometría y su Relación con los Ángulos
En geometría, ciertas líneas dentro de figuras geométricas son especialmente importantes, ya que dividen ángulos o segmentos de manera equitativa o particular. Entre las más destacadas están:
1. Bisectriz de un Ángulo
La bisectriz es una línea que divide un ángulo en dos partes iguales. En los triángulos, la bisectriz juega un rol fundamental para hallar puntos equidistantes a los lados del ángulo.
2. Mediatriz de un Segmento
La mediatriz es una línea perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio. Todos los puntos en la mediatriz son equidistantes de los extremos del segmento.
3. Altura
La altura es una línea perpendicular desde un vértice de un triángulo hasta el lado opuesto o su prolongación. Es clave para calcular áreas y resolver diversos problemas geométricos.
5. Ejercicios Resueltos de Ángulos
Ejercicio 1: Cálculo de Ángulos en Paralelas Cortadas por una Transversal
Enunciado:
Dos líneas paralelas son cortadas por una transversal. Uno de los ángulos alternos internos mide 65°. ¿Cuánto mide el otro ángulo alterno interno?
Solución:
Los ángulos alternos internos son congruentes. Si un ángulo mide 65°, el otro ángulo alterno interno también mide 65°.
Ejercicio 2: Suma de Ángulos Interiores en un Triángulo
Enunciado:
En un triángulo, los ángulos interiores miden 40°, 70° y un ángulo desconocido. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo?
Solución:
La suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es 180°. Entonces:
40°+70°+x=180°40° + 70° + x = 180° x=180°−110°=70°x = 180° – 110° = 70°
El tercer ángulo mide 70°.
Ejercicio 3: Ángulos en Polígonos Regulares
Enunciado:
Encuentra la medida de cada ángulo interior en un pentágono regular.
Solución:
La fórmula para hallar la suma de los ángulos interiores de un polígono de nn lados es:
S=(n−2)×180°S = (n – 2) \times 180°
Para un pentágono (n=5n = 5):
S=(5−2)×180°=3×180°=540°S = (5 – 2) \times 180° = 3 \times 180° = 540°
Como el pentágono es regular, todos sus ángulos interiores son iguales, así que dividimos la suma total por 5:
540°5=108°\frac{540°}{5} = 108°
Cada ángulo interior mide 108°.
6. Conclusiones
El estudio de los ángulos en geometría plana es esencial para comprender las relaciones entre las figuras geométricas. A través de ejercicios y demostraciones, hemos explorado cómo los ángulos se comportan entre líneas paralelas, cómo se clasifican y cómo se relacionan con las líneas notables. Este conocimiento es clave para resolver problemas geométricos más avanzados.
Encuentre el valor funcional
A=(8x-4y+2)+(3x+2y-5) cuando x=0 y=1 B=(3a+7b-9)+(5a+9b+21) cuando x=25 y=36 D=\frac{(x+y)^3 +(x-y)^2(x+y+z)+(x-y+z)^2 }{(2x+3y+z)^2}Realizar las siguientes operaciones
-5+6+2-4 3a-8a+2a+6a-5a 7x-2x+6x-10x+4x-5x-x x+x^2+x^3+1-2x^2-5x-3+2x^3+6x^2-2x y^4-y^2+6-3y^4+2y^2-8+y^4-3y^2 -4+3x^2y^2z^2+5+2x^2y^2z^2-6-8x^2y^2z^2+6x^2y^2z^2 5x^{-2}y+3xy^{-2}-2x^{-2}y+3x^{-2}y+4xy^{-2} \frac{2}{3} xy-\frac{1}{6}xy+\frac{1}{2}x^2y^2-\frac{3}{4}xy+2x^2y^2 4x^ny^m+2x^ny^m-5x^2y^m-3x^ny^m+6x^2y^m (a-2b+3c+d)+(-a+2b+c-2d)+(3a+b+c+d)(8a^5b^2-12a^4b^4+6a^2b^4)+(-6a^5b^2+7a^4b^4-2a63b^3)+(3a^5b^2-6a^4b^4-3a^2b^4+7a^3b^3<span style="font-size: 16px;">
De a-b restar c-d
De 3x^-5x+4 restar x^2+2x+1
De 2x^2-3x+1 restar x^3-x^2+3x-8
Restar x^4+x^2+2 de x^3-2x^2-5x+6
Restar 2x^{n+2}-5x^{n+1}+3x^n+x^{n-1} de 3x^{n+2}-2x^{n+1}-6x^n +2x^{n-1}
(x^2-5x+1)+(3x-1) (x+y+z)-(x-y-z)+(-x+y-z)-(x-y+z) x^3-(x^3+y^3-z^3)+y^3+(x^3-y^3+z^3)-z^3 a-{2b-[a-(3b-c+2c-(a-b-c))]} 3xy^2-(3x^2y-y^3)+[y^3+(3x^2y-3xy^2+y^3)-x^3]4-x-[-x-[x-(x-(1-x))]] x+(a-[a-2-{2a+1}+3]-a) 8x-(2y-4x)-[3y-()2y-x]-[2y+(4x-3y)] (-3x)(x^2-5x+6) (-\frac{1}{2} xyz)(x^2+y^2+z^2-2xy-2xy-2xz+2yz)x^n(x^3-2x^2+5x+6) (x+8)(x+5) (x-5)(2x-3) (x-4)(x-3) (x-2y+z)(x+y-2z) (a^2+b^2+ab)(a^2+b^2-ab) (x^4+y^4-x^2y^2)(x^2+y^2) (x+y)(x^3-x^2y+xy^2-y^3)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)(x+y) (6x^4-3x^2y^2-11xy^3-4y^4)(x^3-2x^2y+xy^2-y^3) -\frac{15x^3y^2}{5xy} \frac{34m^4n^3p}{14mnpq} \frac{2x^2-5x+6}{x-3} \frac{x^4-2x^3-20x^2+x+6}{x+4} \frac{3x^4-25x^2-5x+8}{x+3} \frac{2x^4+5x^3y-3xy^3+y^4}{x^2+2xy-3y^2} \frac{a^6-b^6}{a^2-ab+b^2}